George Polya beroemde citaten

Wiskunde is de goedkoopste wetenschap. In tegenstelling tot natuurkunde of scheikunde vereist het geen dure apparatuur. Alles wat je nodig hebt voor wiskunde is een potlood en papier.

Een grote ontdekking lost een groot probleem op, maar er zit een kern van ontdekking in de oplossing van elk probleem. Uw probleem kan bescheiden zijn, maar als het uw nieuwsgierigheid uitdaagt en uw inventieve vermogens in het spel brengt, en als u het op uw eigen manier oplost, kunt u de spanning ervaren en genieten van de triomf van ontdekking.

Waar moet ik beginnen? Begin met de verklaring van het probleem. ... Wat kan ik doen? Visualiseer het probleem als geheel zo duidelijk en zo levendig als je kunt. ... Wat kan ik er aan doen? Je moet het probleem begrijpen, jezelf ermee vertrouwd maken, het doel ervan in je geest imponeren.

Zelfs redelijk goede studenten, wanneer ze de oplossing van het probleem hebben verkregen en het argument netjes hebben opgeschreven, sluiten hun boeken en zoeken naar iets anders. Daarbij missen ze een belangrijke en leerzame fase van het werk. ... Een goede leraar moet begrijpen en indruk maken op zijn studenten de mening dat geen enkel probleem is volledig uitgeput.

Schoonheid in de wiskunde is de waarheid zien zonder moeite.

Pedanterie en meesterschap zijn tegengestelde houdingen ten opzichte van regels. Een regel op de letter toepassen, rigide, onbetwistbaar, in gevallen waar het past en in gevallen waar het niet past, is pedanterie. [...] Een regel met natuurlijk gemak toepassen, met oordeel, de gevallen opmerken waar het past, en zonder ooit de woorden van de regel het doel van de actie of de kansen van de situatie te laten verdoezelen, is meesterschap.

Als je wilt leren zwemmen, moet je het water in en als je een probleemoplosser wilt worden, moet je problemen oplossen.

Grafschrift over Newton: de natuur en de wet van de natuur lagen verborgen in de nacht: God zei: "laat Newton zijn!"en alles was licht. [toegevoegd door Sir John Collings Squire: het duurde niet lang: de duivel schreeuwde " Ho. Laat Einstein zijn, "herstelde de status quo] [Aaron Hill' s versie: O 'er Nature' s laws God wierp de sluier van de nacht, blaz 'D Een Newton' s ziel en alles was licht.

Mijn methode om een probleem te overwinnen is om het te omzeilen.

Om een zin van het Engels naar het Frans te vertalen zijn twee dingen nodig. Ten eerste moeten we de Engelse zin goed begrijpen. Ten tweede moeten we vertrouwd zijn met de uitdrukkingsvormen die eigen zijn aan de Franse taal. De situatie is zeer vergelijkbaar wanneer we proberen een in woorden voorgestelde voorwaarde in wiskundige symbolen uit te drukken. Ten eerste moeten we de toestand grondig begrijpen. Ten tweede moeten we bekend zijn met de vormen van wiskundige expressie.

Het oplossen van problemen is een praktische vaardigheid zoals, Laten we zeggen, zwemmen. We verwerven elke praktische vaardigheid door imitatie en oefening. Als je probeert te zwemmen, imiteer je wat andere mensen doen met hun handen en voeten om hun hoofd boven water te houden, en ten slotte leer je zwemmen door te oefenen met zwemmen. Als je probeert problemen op te lossen, moet je observeren en imiteren wat andere mensen doen bij het oplossen van problemen, en ten slotte leer je problemen te doen door ze te doen.

Als er een probleem is dat je niet kunt oplossen, dan is er een gemakkelijker probleem dat je niet kunt oplossen: vind het.

De eerste regel van stijl is om iets te zeggen te hebben. De tweede regel van stijl is om jezelf te beheersen wanneer je toevallig twee dingen te zeggen hebt; zeg eerst het ene, dan het andere, niet beide tegelijk.

Ik ben te goed voor filosofie en niet goed genoeg voor natuurkunde. Wiskunde zit er tussenin.

Wiskunde is geen toeschouwerssport!

Wiskunde bestaat uit het bewijzen van het meest voor de hand liggende op de minst voor de hand liggende manier.

Succes bij het oplossen van het probleem hangt af van het kiezen van het juiste aspect, van het aanvallen van het fort van zijn toegankelijke kant.

Het is beter om één probleem op vijf verschillende manieren op te lossen, dan om vijf problemen op één manier op te lossen.

Wiskunde heeft twee gezichten: het is de rigoureuze wetenschap van Euclides, maar het is ook iets anders. De wiskunde die op de Euclidische manier wordt gepresenteerd, verschijnt als een systematische, deductieve wetenschap; maar de wiskunde in de maak verschijnt als een experimentele, inductieve wetenschap. Beide aspecten zijn zo oud als de wetenschap van de wiskunde zelf.

Euclides ' manier van uiteenzetting, die meedogenloos vordert van de gegevens naar het onbekende en van de hypothese naar de conclusie, is perfect om het argument in detail te controleren, maar verre van perfect om de hoofdlijn van het argument begrijpelijk te maken.

Analogie doordringt al ons denken, onze dagelijkse spraak en onze triviale conclusies, evenals artistieke manieren van expressie en de hoogste wetenschappelijke prestaties.

Om deze differentiaalvergelijking op te lossen, kijk je ernaar totdat er een oplossing bij je opkomt.

In de" commentatio " (nota gepresenteerd aan de Russische Academie) waarin zijn stelling over veelvlakken (over het aantal gezichten, randen en hoekpunten) voor het eerst werd gepubliceerd, geeft Euler geen bewijs. In plaats van een bewijs, biedt hij een inductief argument: hij verifieert de relatie in een verscheidenheid van speciale gevallen. Er is weinig twijfel dat hij ook de stelling ontdekte, zoals veel van zijn andere resultaten, inductief.

Ik vermijd opzettelijk de standaardterm die trouwens niet bestond in de tijd van Euler. Een van de lelijkste uitwassen van de "nieuwe wiskunde" was de voortijdige introductie van technische termen.

Een wiskundige die alleen kan generaliseren is als een aap die alleen in een boom kan klimmen, en een wiskundige die alleen kan specialiseren is als een aap die alleen in een boom kan klimmen. In feite is noch de up monkey noch de down monkey een levensvatbaar wezen. Een echte aap moet voedsel vinden en aan zijn vijanden ontsnappen en moet dus onophoudelijk op en neer kunnen klimmen. Een echte wiskundige moet kunnen generaliseren en specialiseren.

Hilbert had ooit een wiskundestudent die niet meer naar zijn lezingen kwam, en hem werd uiteindelijk verteld dat de jonge man was vertrokken om dichter te worden. Hilbert zou hebben opgemerkt: 'ik had nooit gedacht dat hij genoeg verbeelding had om wiskundige te worden.'

Het principe is zo volkomen algemeen dat er geen specifieke toepassing van mogelijk is.

De eerste en belangrijkste taak van de middelbare school bij het onderwijzen van wiskunde is het benadrukken van methodisch werk bij het oplossen van problemen...De leraar die al zijn studenten, toekomstige gebruikers en niet-gebruikers van wiskunde, gelijk wil dienen, moet probleemoplossing onderwijzen, zodat het ongeveer een derde wiskunde en twee derde gezond verstand is.

Correct schrijven en spreken is zeker noodzakelijk, maar het is niet voldoende. Een afleiding die correct in het boek of op het bord wordt gepresenteerd, kan ontoegankelijk en niet-instructief zijn, als het doel van de opeenvolgende stappen onbegrijpelijk is, als de lezer of luisteraar niet kan begrijpen hoe het menselijk mogelijk was om een dergelijk argument te vinden....

Een idee dat één keer gebruikt kan worden is een truc. Als het meer dan één keer kan worden gebruikt, wordt het een methode.

De beste ideeën worden geschaad door onkritische acceptatie en gedijen op kritisch onderzoek.

Een grote ontdekking lost een groot probleem op, maar er zit een kern van ontdekking in elk probleem.

De elegantie van een wiskundige stelling is recht evenredig met het aantal onafhankelijke ideeën dat men in de stelling kan zien en omgekeerd evenredig met de inspanning die nodig is om ze te zien.

De wereld wil graag dat hoogtepunt en hoogtepunt van de moderne wiskunde bewonderen: een stelling die zo volkomen algemeen is dat er geen specifieke toepassing van mogelijk is.

Heel vaak, wanneer een idee dat nuttig zou kunnen zijn zich voordoet, waarderen we het niet, want het is zo onopvallend. De expert heeft misschien niet meer ideeën dan de onervaren, maar waardeert meer wat hij heeft en gebruikt het beter.

Om effectief te onderwijzen moet een leraar een gevoel voor zijn onderwerp ontwikkelen; hij kan zijn studenten de vitaliteit ervan niet laten voelen als hij het zelf niet voelt. Hij kan zijn enthousiasme niet delen als hij geen enthousiasme heeft om te delen. Hoe hij zijn punt maakt, kan net zo belangrijk zijn als het punt dat hij maakt; hij moet het persoonlijk belangrijk vinden.

De leraar kan het zich zelden veroorloven de vragen te missen: Wat is het onbekende? Wat zijn de gegevens? Wat is de voorwaarde? De student moet de belangrijkste delen van het probleem aandachtig, herhaaldelijk en van verschillende kanten overwegen.

Een van de eerste en belangrijkste taken van de leraar is niet om zijn studenten de indruk te geven dat wiskundige problemen weinig verband met elkaar hebben, en helemaal geen verband met iets anders. We hebben een natuurlijke kans om de verbanden van een probleem te onderzoeken wanneer we terugkijken naar de oplossing ervan.

Als je het voorgestelde probleem niet kunt oplossen, probeer dan eerst een gerelateerd probleem op te lossen.

Er zijn veel vragen die dwazen kunnen stellen die wijze mannen niet kunnen beantwoorden.

De eerste regel van ontdekking is om hersenen en geluk te hebben. De tweede regel van ontdekking is om stil te zitten en te wachten tot je een helder idee krijgt.

Wanneer goede logica op het verkeerde moment of op de verkeerde plaats wordt geïntroduceerd, kan het de ergste vijand van goed onderwijs zijn.

Wiskunde is lui zijn. Wiskunde is de principes het werk voor je laten doen, zodat je het werk niet voor jezelf hoeft te doen

Geometrie is de wetenschap van correct redeneren op onjuiste cijfers.

Het open geheim van echt succes is om je hele persoonlijkheid in je probleem te gooien.

Er was een seminar voor gevorderde studenten in Zürich dat ik les gaf en von Neumann zat in de klas. Ik kwam tot een bepaalde stelling, en ik zei dat het niet bewezen is en het kan moeilijk zijn. Von Neumann zei Niets, maar na vijf minuten stak hij zijn hand op. Toen ik hem belde ging hij naar het bord en begon het bewijs op te schrijven. Daarna was ik bang voor von Neumann.

Als het bewijs begint met axioma ' s, onderscheidt verschillende gevallen, en neemt dertien regels in het leerboek ... het kan de jongeren de indruk geven dat wiskunde bestaat uit het bewijzen van de meest voor de hand liggende dingen op de minst voor de hand liggende manier.

De toekomstige wiskundige ... hij moet problemen oplossen, de problemen kiezen die in zijn lijn liggen, mediteren over hun oplossing en nieuwe problemen uitvinden. Met deze middelen, en met alle andere middelen, moet hij zich inspannen om zijn eerste belangrijke ontdekking te doen: hij moet zijn voor-en afkeuren ontdekken, zijn smaak, zijn eigen lijn.

Kijk rond wanneer je je eerste paddenstoel hebt gekregen of je eerste ontdekking hebt gedaan: ze groeien in clusters.

Als je een stelling moet bewijzen, haast je dan niet. Allereerst, begrijp volledig wat de stelling zegt, probeer duidelijk te zien wat het betekent. Controleer dan de stelling; het kan vals zijn. Onderzoek de gevolgen, verifieer zoveel specifieke gevallen als nodig zijn om jezelf van de waarheid te overtuigen. Als je jezelf ervan overtuigd hebt dat de stelling waar is, kun je beginnen met het bewijzen ervan.